\chapter{1971年， Kosterlitz-Thouless相变：\\二维体系中的拓扑相变}

\date{2025.08.29}
	
	\begin{abstract}
		Kosterlitz-Thouless (KT) 相变，又称BKT相变，是凝聚态物理中一种深刻且反常的相变。它发生在二维体系中，其机制完全不同于由朗道对称性破缺理论所描述的传统相变。KT相变的核心是拓扑缺陷——涡旋(Vortex)与反涡旋(Antivortex)对的束缚与解束缚。本文回顾了从伊辛模型到XY模型的理论发展历程，阐述了KT相变的基本物理图像、理论框架及其深远影响，并利用Tikz绘制了原理示意图。
		\textbf{关键词：} Kosterlitz-Thouless相变；拓扑缺陷；二维系统；XY模型；涡旋
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	相变是物质状态发生突然变化的临界现象。朗道(Landau)的对称性破缺理论在很长一段时间内是理解相变，特别是三维体系相变的主导范式。然而，二维体系中的相变呈现出独特的挑战。早在1924年，恩斯特·伊辛(Ernst Ising)精确求解了一维伊辛模型，发现其不存在有限温度的相变，并错误地推测高维情形亦然。这一论断直至1944年昂萨格(Lars Onsager)给出二维伊辛模型的精确解后才被推翻，证明了\textbf{二维离散对称性系统}可以发生相变。
	
	对于\textbf{连续对称性}的二维系统，如XY模型（自旋可在平面内自由旋转），Mermin和Wagner于1966年证明其不可能存在真正的长程序(Long-range order)。这似乎预示着此类系统在有限温度下将始终处于无序态。然而，David Thouless、J. Michael Kosterlitz 和 David Nelson 在70年代的开创性工作揭示了一种前所未有的相变机制，即Kosterlitz-Thouless (KT) 相变，他们也因此获得了2016年的诺贝尔物理学奖。
	
	\section{理论背景：从伊辛模型到XY模型}
	
	\subsection{伊辛模型与二维相变的确立}
	1920年，威廉·楞次（Wilhelm Lenz）提出了描述铁磁性的伊辛模型，其哈密顿量为：
	\[
	H = -J \sum_{\langle ij \rangle} S_i S_j \quad (S_i = \pm 1)
	\]
	其中 $J > 0$，$\langle ij \rangle$ 表示对最近邻自旋对求和。伊辛于1924年求解一维情形，发现无相变。昂萨格在1944年给出的二维精确解，首次从微观模型严格证明了相变的存在，确立了维度与对称性在相变中的核心地位。
	
	\subsection{XY模型与连续对称性}
	XY模型是描述具有连续U(1)对称性系统的典型模型，其哈密顿量为：
	\[
	H = -J \sum_{\langle ij \rangle} \vec{S}_i \cdot \vec{S}_j = -J \sum_{\langle ij \rangle} \cos(\theta_i - \theta_j)
	\]
	其中自旋 $\vec{S}_i = (\cos\theta_i, \sin\theta_i)$ 为二维单位矢量。在低温下，系统倾向于自旋对齐，但受Mermin-Wagner定理约束，仅能形成\textbf{准长程序}(Quasi-long-range order)，其关联函数呈幂律衰减：$G(r) \propto r^{-\eta(T)}$。
	
	\section{KT相变的物理机制}
	
	KT相变的本质是系统拓扑性质的改变，其序参量是拓扑荷而非对称性序参量。
	
	\subsection{拓扑缺陷：涡旋}
	
	在XY模型中，最重要的激发不是自旋波，而是一种拓扑元激发——\textbf{涡旋}。如图\ref{fig:vortex}所示，绕涡旋核心一周，自旋方向连续地旋转$2\pi$。其拓扑荷（绕数Winding number）$n = \frac{1}{2\pi} \oint_C \nabla \theta \cdot d\vec{l} = \pm 1, \pm 2, ...$ 是一个整数，且不依赖于回路$C$的具体形状，具有拓扑稳定性。
	
	\begin{figure}[htbp]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=Stealth]
			% Draw the vortex core
			\draw[fill=gray!30] (0,0) circle (0.3);
			\node at (0,0) {Core};
			
			% Draw arrows around the core
			\foreach \r in {0.7, 1.1, 1.5} {
				\foreach \a in {0, 15, ..., 345} {
					\draw[->, thick, red] (\a:\r) -- (\a:\r+0.2);
				}
			}
			% Label the vortex
			\node[above right] at (1.8, 1.8) {$\oint \nabla\theta \cdot d\vec{l} = +2\pi$};
			\node[above] at (0, 2.2) {(a) 正涡旋 ($n=+1$)};
		\end{tikzpicture}
		\hspace{1cm}
		\begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=Stealth]
			% Draw the vortex core
			\draw[fill=gray!30] (0,0) circle (0.3);
			\node at (0,0) {Core};
			
			% Draw arrows around the core (antivortex)
			\foreach \r in {0.7, 1.1, 1.5} {
				\foreach \a in {0, 15, ..., 345} {
					\draw[->, thick, blue] (\a:\r) -- ({\a+180}:\r+0.2); % Arrows point radially inward
				}
			}
			% Label the antivortex
			\node[above right] at (1.8, 1.8) {$\oint \nabla\theta \cdot d\vec{l} = -2\pi$};
			\node[above] at (0, 2.2) {(b) 反涡旋 ($n=-1$)};
		\end{tikzpicture}
		\caption{XY模型中的拓扑缺陷：(a) 正涡旋与 (b) 反涡旋。绕其核心一周，自旋方向连续变化 $\pm 2\pi$，其拓扑荷是整数且守恒。}
		\label{fig:vortex}
	\end{figure}
	
	单个自由涡旋的能量随系统尺寸$R$对数发散：$E_v \approx \pi J \ln(R/a)$，其中$a$为晶格常数。因此在热力学极限下，单个自由涡旋的能量是无穷大的，无法在低温下产生。
	
	\subsection{涡旋-反涡旋对}
	
	系统可以通过产生一对拓扑荷相反的\textbf{涡旋-反涡旋对}来降低能量（图\ref{fig:pair}）。一对相距为$r$的涡旋-反涡旋对的结合能约为：
	\[
	E_{pair} \approx 2E_c + 2\pi J \ln(r/a)
	\]
	其中$E_c$是涡旋核心能。这个能量是有限的。在低温下，熵不足以克服这对数势垒，涡旋对紧密地束缚在一起，作为整体呈电中性，不影响系统的准长程序。
	
	\begin{figure}[htbp]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
			% Draw two cores
			\draw[fill=gray!30] (-1,0) circle (0.2) node {$+$};
			\draw[fill=gray!30] (1,0) circle (0.2) node {$-$};
			
			% Draw field lines/arrows between them
			\foreach \y in {-0.5, 0, 0.5} {
				\draw[->, thick, red] (-1.5, \y) -- (-1.2, \y);
				\draw[->, thick, red] (1.2, \y) -- (1.5, \y);
			}
			\foreach \x in {-0.8, -0.4, 0.4, 0.8} {
				\draw[->, thick, red] (\x, -0.6) -- (\x, -0.3);
				\draw[->, thick, red] (\x, 0.3) -- (\x, 0.6);
			}
			% Draw a curved line above and below connecting them, indicating the binding
			\draw[decoration={coil, aspect=0.5, segment length=1mm, amplitude=1.5mm}, decorate, thick, green] (-1, 0.5) -- (1, 0.5);
			\draw[decoration={coil, aspect=0.5, segment length=1mm, amplitude=1.5mm}, decorate, thick, green] (-1, -0.5) -- (1, -0.5);
			\node[above] at (0, 0.8) {束缚能 $U(r) \propto \ln(r)$};
			\node[below] at (0, -1) {低温相：束缚的涡旋-反涡旋对};
		\end{tikzpicture}
		\caption{低温下束缚的涡旋-反涡旋对。它们通过对数相互作用势束缚在一起，其平均间距很小。}
		\label{fig:pair}
	\end{figure}
	
	\subsection{相变过程：束缚-解束缚转变}
	
	温度$T$升高时，熵的贡献$TS$变得越来越重要。在临界温度$T_{KT}$处，发生了一场“拓扑电离”：
	
	\[
	\text{束缚的涡旋-反涡旋对} \quad \xrightarrow{T \rightarrow T_{KT}^+} \quad \text{自由的涡旋与反涡旋}
	\]
	
	\begin{itemize}
		\item \textbf{低温相 ($T < T_{KT}$)}: 仅有束缚的涡旋对和自旋波。系统具有准长程序，关联函数幂律衰减，电阻为零（超流/超导膜）。
		\item \textbf{高温相 ($T > T_{KT}$)}: 自由涡旋大量出现。它们破坏了相位相干性，导致关联函数指数衰减，系统处于完全无序态，电阻出现。
	\end{itemize}
	
	\begin{figure}[htbp]
		\centering
		\begin{tikzpicture}
			% Draw the phase diagram
			% X-axis: T
			\draw[->, thick] (0,0) -- (6, 0) node[right] {$T$};
			% Y-axis: Order (can be correlation length or concentration of free vortices)
			\draw[->, thick] (0,0) -- (0, 4) node[above] {自由涡旋密度 $n_f$ / 关联长度 $\xi$};
			
			% Mark the critical temperature
			\draw[dashed] (3, 0) -- (3, 3.5);
			\node at (3, -0.3) {$T_{KT}$};
			
			% Plot the behavior
			% Below T_KT: n_f ~ 0, correlation length is infinite (quasi-order)
			\draw[thick, red] (0, 0.1) .. controls (1.5, 0.1) and (2.8, 0.1) .. (3, 0.1);
			\node[red, left] at (0, 0.1) {准长程序};
			\draw[thick, blue] (3, 0.1) .. controls (3.5, 1) and (4, 2) .. (5.5, 3.5);
			\node[blue, right] at (5.5, 3.5) {无序态};
			
			% Add a special curve for the correlation length above T_KT
			\draw[thick, orange, dashed] (3, 3.5) .. controls (3.2, 2.5) and (3.5, 1.5) .. (5, 0.5);
			\node[orange, right] at (5, 0.5) {$\xi \propto e^{b / \sqrt{T - T_{KT}}}$};
			
			% Add labels
			\node at (1.5, 2) {束缚涡旋对};
			\node at (4.5, 2) {自由涡旋};
			\draw[->] (4, 2.2) -- (4.8, 3);
			\draw[->] (4, 1.8) -- (3.8, 0.8);
			
		\end{tikzpicture}
		\caption{KT相变示意图。在 $T_{KT}$ 以下，自由涡旋密度几乎为零，关联长度发散（准长程序）。在 $T_{KT}$ 以上，自由涡旋密度迅速增加，关联长度 $\xi$ 以 essential singularity 的形式从无穷大跌落。}
		\label{fig:phase_diag}
	\end{figure}
	
	KT相变最独特的特征之一是其关联长度 $\xi$ 在 $T_{KT}$ 以上的发散行为：
	\[
	\xi \propto \exp\left( \frac{b}{\sqrt{T - T_{KT}}} \right)
	\]
	这种超越幂律的发散（Essential singularity）是任何传统朗道理论都无法描述的，是KT相变的“指纹”。
	
	\section{应用与影响}
	KT理论的成功远超最初的XY模型，广泛应用于：
	\begin{itemize}
		\item \textbf{超流氦薄膜}与\textbf{超导薄膜}：为其超流-正常相变提供了核心解释。
		\item \textbf{二维磁性}：理解新兴的二维磁体（如CrI$_3$）的失稳机制。
		\item \textbf{统计物理与宇宙学}：为拓扑缺陷（如宇宙弦）的形成提供了范例。
		\item \textbf{拓扑物态}：开创了用拓扑概念理解物态和相变的先河，直接影响了对拓扑绝缘体、量子霍尔效应等的理解。
	\end{itemize}
	
	\section{结论}
	Kosterlitz-Thouless相变是凝聚态物理的一座里程碑。它揭示了在涨落强劲的二维世界中，超越朗道范式的全新相变机制——拓扑驱动相变。从伊辛模型的求解到昂萨格的突破，再到KT理论的创立，这一历程体现了物理学家对维度、对称性和拓扑性之间深刻联系的不懈探索与最终理解。KT理论不仅解决了一个具体问题，更开辟了拓扑物态这一广阔的研究领域，其影响延续至今。
	
	\begin{thebibliography}{99}
		\bibitem{kt} J. M. Kosterlitz and D. J. Thouless, \textit{Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems}, Journal of Physics C: Solid State Physics, 1973.
		\bibitem{onsager} L. Onsager, \textit{Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition}, Physical Review, 1944.
		\bibitem{nobel} The Nobel Prize in Physics 2016, \url{https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2016/press-release/}
	\end{thebibliography}
	